素养导向下一道中考数学试题的解法探究

在素养导向的教育背景下,中考数学试题愈发注重考查学生的综合素养和思维能力，本文将对一道中考数学试题进行解法探究，以展示如何在解题过程中培养和体现数学素养。 在平面直角坐标系中，已知抛物线(y = ax^{2}+bx + c)（(a\neq0)）经过点(A(-1,0))，(B(3,0))，(C(0,3))。 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为(D)，在其对称轴上是否存在点(P)，使得(\triangle ACP)的周长最小？若存在，求出点(P)的坐标；若不存在，请说明理由。

求抛物线的解析式

已知抛物线(y = ax^{2}+bx + c)经过点(A(-1,0))，(B(3,0))，(C(0,3))，将这三个点的坐标代入抛物线方程可得：

(\begin{cases}a - b + c = 0\9a + 3b + c = 0\c = 3\end{cases})

将(c = 3)代入前两个方程可得：

(\begin{cases}a - b = -3\9a + 3b = -3\end{cases})

由(a - b = -3)可得(a = b - 3)，将其代入(9a + 3b = -3)中：

(9(b - 3)+3b = -3)

(9b - 27 + 3b = -3)

(12b = 24)

解得(b = 2)，则(a = 2 - 3 = -1)。

所以抛物线的解析式为(y = -x^{2}+2x + 3)。

求使得(\triangle ACP)周长最小的点(P)的坐标

1. 利用轴对称性质确定点(P)的位置 连接(BC)，与对称轴的交点即为点(P)，\triangle ACP)的周长最小，因为(A)、(B)关于对称轴对称，PA = PB)，(\triangle ACP)的周长(= AC + PC + PA = AC + PC + PB = AC + BC)，根据两点之间线段最短，此时周长最小。

2. 求对称轴方程 对于抛物线(y = -x^{2}+2x + 3)，其对称轴方程为(x = -\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\times(-1)} = 1)。

3. 求直线(BC)的解析式 设直线(BC)的解析式为(y = kx + m)，将(B(3,0))，(C(0,3))代入可得：

(\begin{cases}3k + m = 0\m = 3\end{cases})

解得(k = -1)，(m = 3)，所以直线(BC)的解析式为(y = -x + 3)。

4. 求点(P)的坐标 将(x = 1)代入(y = -x + 3)可得(y = -1 + 3 = 2)，所以点(P)的坐标为((1,2))。

在解决这道中考数学试题的过程中,我们体现了多种数学素养，在求抛物线解析式时，通过将已知点的坐标代入方程，运用了方程思想和运算能力，在求(\triangle ACP)周长最小时，利用轴对称性质和两点之间线段最短的原理，培养了几何直观和逻辑推理能力，通过求直线(BC)的解析式和点(P)的坐标，进一步提升了运算能力和综合运用知识的能力。

素养导向下的中考数学试题要求我们在教学和学习过程中,不仅要注重知识的传授，更要注重培养学生的数学思维和综合素养，让学生学会运用数学知识解决实际问题，提高学生的数学核心竞争力，通过对这类试题的研究和分析，教师可以更好地把握教学方向，改进教学方法，为学生的数学学习提供更有效的指导。