一类递推数列通项公式的求法

之一,而递推数列通项公式的求解则是数列学习中的一个重点和难点，在各类考试中，递推数列通项公式的求法经常出现，因此掌握有效的求解方法至关重要，本文将介绍一类递推数列通项公式的求法。

递推数列是指通过已知的数列的前一项或前几项来表示后一项的数列。(a{n + 1}=f(a{n}))或(a{n + 2}=f(a{n + 1},a_{n}))等形式的数列，对于不同形式的递推数列，我们可以采用不同的方法来求解其通项公式。

对于形如(a{n + 1}=a{n}+d)（(d)为常数）的递推数列，这是一个等差数列，其通项公式可以通过累加法来求解。

我们知道(a{n}-a{n - 1}=d)，(a{n - 1}-a{n - 2}=d)，(\cdots)，(a{2}-a{1}=d)。

将以上(n - 1)个式子相加，得到(a{n}-a{1}=(n - 1)d)，a{n}=a{1}+(n - 1)d)。

已知数列({a{n}})满足(a{1}=1)，(a{n + 1}=a{n}+2)，求(a_{n})。

由(a{n + 1}-a{n}=2)，根据累加法可得(a{n}-a{1}=2(n - 1))，又(a{1}=1)，a{n}=2n - 1)。

对于形如(a{n + 1}=qa{n})（(q)为常数且(q\neq0)）的递推数列，这是一个等比数列，其通项公式可以通过累乘法来求解。

因为(\frac{a{n}}{a{n - 1}}=q)，(\frac{a{n - 1}}{a{n - 2}}=q)，(\cdots)，(\frac{a{2}}{a{1}}=q)。

将以上(n - 1)个式子相乘，得到(\frac{a{n}}{a{1}}=q^{n - 1})，a{n}=a{1}q^{n - 1})。

已知数列({a{n}})满足(a{1}=2)，(a{n + 1}=3a{n})，求(a_{n})。

由(\frac{a{n + 1}}{a{n}}=3)，根据累乘法可得(\frac{a{n}}{a{1}}=3^{n - 1})，又(a{1}=2)，a{n}=2\times3^{n - 1})。

对于形如(a{n + 1}=a{n}+f(n))的递推数列，我们同样可以使用累加法来求解通项公式。

已知数列({a{n}})满足(a{1}=1)，(a{n + 1}=a{n}+n)，求(a_{n})。

由(a{n + 1}-a{n}=n)，则(a{n}-a{n - 1}=n - 1)，(a{n - 1}-a{n - 2}=n - 2)，(\cdots)，(a{2}-a{1}=1)。

将这些式子相加得(a{n}-a{1}=1 + 2+\cdots+(n - 1)=\frac{(n - 1)n}{2})，又(a{1}=1)，a{n}=\frac{n(n - 1)}{2}+1=\frac{n^{2}-n + 2}{2})。

对于形如(a{n + 1}=f(n)a{n})的递推数列，我们可以使用累乘法来求解通项公式。

已知数列({a{n}})满足(a{1}=1)，(a{n + 1}=\frac{n + 1}{n}a{n})，求(a_{n})。

由(\frac{a{n + 1}}{a{n}}=\frac{n + 1}{n})，则(\frac{a{n}}{a{n - 1}}=\frac{n}{n - 1})，(\frac{a{n - 1}}{a{n - 2}}=\frac{n - 1}{n - 2})，(\cdots)，(\frac{a{2}}{a{1}}=\frac{2}{1})。

将这些式子相乘得(\frac{a{n}}{a{1}}=n)，又(a{1}=1)，a{n}=n)。

对于一些较为复杂的递推数列,我们可能需要通过变形将其转化为我们熟悉的形式来求解。

对于形如(a{n + 1}=pa{n}+q)（(p\neq1)，(q)为常数）的递推数列，我们可以通过设(a{n + 1}+x=p(a{n}+x))，展开得到(a{n + 1}=pa{n}+(p - 1)x)，对比(a{n + 1}=pa{n}+q)，可得(x=\frac{q}{p - 1})。

这样就将原数列转化为等比数列({a{n}+x})，进而求出(a{n}\。

已知数列({a{n}})满足(a{1}=1)，(a{n + 1}=2a{n}+1)，求(a_{n})。

设(a{n + 1}+x=2(a{n}+x))，展开得(a{n + 1}=2a{n}+x)，x = 1)。

则数列({a{n}+1})是以((a{1}+1)=2)为首项，(2)为公比的等比数列。

a{n}+1=2\times2^{n - 1}=2^{n})，则(a{n}=2^{n}-1)。

递推数列通项公式的求法多种多样,需要我们根据不同的递推形式选择合适的方法，在求解过程中，要注意对式子进行合理的变形和推导，同时要多做练习，积累经验，这样才能熟练掌握递推数列通项公式的求法，提高解题能力。